From Ground States to Excitations
《Interacting Electrons and Quantum Magnetism》Assa Auerbach Chapter 9
Abatract
前几章我们都关注于海森堡模型的基态,而我们可以利用线性相应理论预测一些激发态的性质,在本章中就会利用基态的关联函数去构造较低的激发态。这种方法被称为单模近似(SMA),之后会检验构造的激发态与基态的联系,其是否是有带隙的,这与体系对称破缺的关联,最后会介绍一种有带隙的情况,即AKLT模型。
Definition
定义一些算符以及它们数学上的联系:
为动力学结构因子,或是类比于Bruus书中的趋大格林函数,区别之一是Assa[1]书激发的是动量空间q处的一个z方向自旋。
为同时关联函数(静态结构因子),一种理解为类比固体物理中的结构因子,布拉格散射的散射振幅可以写作:
其中
我们作类比,多体体系中“自旋分布”在特定晶体类型中对整体散射振幅的影响:
对其作傅里叶变换到k空间就是(9.2)式。从趋大格林函数的角度Bruus书上对
为双对易子关联函数,也是基态做平均,其满足公式:
Single Mode Approxiamation (SMA)
在本章中我们讨论的激发态为单模激发态(single mode state),其定义为:
我们还可以使用如下的定义不改变
事实上,单模激发对应了一个相当尖锐的动力学结构因子,在零温时,尖锐的处于
Goldstone Modes
Goldstone Theorem 9.1 9.2
如果自旋的关联函数S(q)在某个q处发散,或者说体系在某个q处出现了对称性破缺(6.6式),那么我们说体系存在一种戈德斯通模式(激发),其激发能量在这个q处为零:(自发对称性破缺导致无带隙)
Example: 短程海森堡哈密顿量为:
其符合6.2节的Mermin and Wagner 定理,所证即上文的
总之,J、q、a都是有限量,故F(q)不发散,故
The Haldane Gap and the SMA
计算AKLT模型的
在第八章得到了自旋关联函数的表达式:
对其作傅里叶变换后就得到了静态结构因子S(q):
类似的可以得到F(q)的表达式:
最终得到
可以看到单模近似后的GAP至多为0.370K,尽管这个GAP可能不对应真实的激发,但是在AKLT模型中,实际上也可以找到0.350K的GAP,类比于一维标准海森堡模型的GAP为0.325K,两者相差不大,说明AKLT模型哈密顿量的自旋平方项并没有明显改变比如单模近似这样微弱的激发,两者基态的自旋关联仍然时类似的。这个AKLT模型的Haldane GAP在十二章至十五章会讨论。
QUESTION 对这个式子的证明可以用转移矩阵的方法。Z的形式比较好,能不能写成是
REF:
[1] 《Interacting Electrons and Quantum Magnetism》Assa Auerbach
[2] Extended Heisenberg Models of Antiferromagnetism: Analogies to the Fractional Quantum Hall EffecT. D.P. Arovas, A. Auerbach, and F.D.M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 60, 531 (1988).
[3] 《Quantum Field Theory and Condensed Matter》 R.Shankar (Transform Matrix Methods)
[4] Exact Questions to Some Interesting Answers In Many Body Physics.D. P. Arovas ,S. M. Girvin Proc. 7th International Conference on Many Body Theories, Minneapolis (1991)
[5]Some General Thoughts about Symmetry. Anderson. (a lecture)